Veri Biliminde Lineer Cebir 2.A

# Bu yazıda matris genel bilgilerinin bir bölümü olarak; matris tanımı, matrislerin eşitliği, matrislerle temel işlemler ve özel tipteki matrisler yer almaktadır. Yazı boyutunu çok uzun tutup teknik bilgiyle sıkılmamak için ( Süreç tamamlanırken yoldan da keyif almaIı ! ) iki bölümden oluşan yazının ilk bölümü sizlerle.. Sonraki yazı Veri Biliminde Lineer Cebir 2.B ‘ de matrislerin şekilleri ve veri biliminde uygulamalarından bahsedilecek. Keyifli okumalar.. #


Matris:
Sayıların satır ve sütunlara yerleştirilmesiyle oluşturulan dikdörgensel tabloya matris denir.
A, B, C … gibi harflerle temsil edilip A = = veya A = şeklinde gösterilirler.

“m” tane satır ve “n” tane sütundan oluşan matrislere mxn tipinde bir matris ve sayılarına da matrisin elemanları denir. elemanındaki i ve j indisleri , elemanın i. satır j. sütunda olduğunu gösterir ve bundan dolayı indislerin sırası önemlidir.
Bir matrisinin eleman sayısı ise nxm tanedir.

Matrislerin Eşitliği:
Satır ve sütun sayıları ile elemanları eşit olan matrislere eşit matrisler denir. mxn tipindeki A = ve B= matrislerinin her i = 1; 2; : : : ;m ve j = 1; 2; : : : ; n için = ise A= B olarak gösterilir.
Matrislerin eşit olabilmesi için aynı tipten matrisler olması gerekir.


Özel Tipte Matrisler
Bu matrisler , elemanlarının bazı özelliklerine göre ya da matris tipine göre isimlendirilirler.

Sıfır Matris : Bu matrisin tüm elemanları sıfırdır. olarak gösterilir.

Dikdörtgen Matris: Satır ve sütun sayıları farklı olan matrisdir. (m ≠ n ‘dir.)

Kare Matris: Bir matrisin satır ve sütun sayıları eşittir. (m = n ‘ dir.)

Köşegen Matris: nxn tipinde (kare matris), asal köşegen dışındaki tüm elemanların 0 (sıfır) olduğu matristir. Diyagonal matris de denir. (Asal köşegen : nxn tipindeki bir A = matrisi için i = j olan elemanların oluşturduğu köşegene asal köşegen denir.)

Skaler Matris: Asal köşegen üzerindeki tüm elemanların eşit olduğu matristir.

Birim Matris: Köşegen bir matrisin asal köşegen elemanları 1’ e eşit olan matristir. “nxn” tipindeki birimin matris ile gösterilir.

Satır Matris: tipindeki matrislerdir.

Sütun Matris: tipindeki matrislerdir.

Bölünmüş Matris ve Alt Matris: Bir matrisin satır ve sütunlarından bazıları silindikten sonra elde edilen matris o matrisin alt matrisidir. İşlem uygulanan matrise de bölünmüş matris denir.

Seyrek (Sparse) Matris: Çok boyutlu matrislerden gibi ) çok seyrek sayıda ve sıfırdan farklı elemanı olan matrislerdir, bu matris elemanlarının çoğunluğu sıfırdan oluşur.

Transpoz Matris: tipindeki bir matrisin satıları sütunlara çevrilip yeni bir matris elde edildiğinde, oluşan matrise transpoz matris (devrik matris) denir. olarak veya A’ gösterilir. Transpoz matrisin boyutu ise nxm olur.

Üç Köşegenli Matris: nxn tipindeki bir matrisin asal köşegen ile bitişik köşegenlerinin dışındaki (Bu köşegenlerin elemanlarından bazıları (tümü değil) da sıfır olabilir.) elemanların sıfır olduğu matristir. Tridiogonal matris de denir. (Aynı zamanda kare matristir.)

Bant Matris: Bu matriste, ana köşegen ve etrafında sıfırdan farklı elemanlar toplanmıştır, bu etrafın dışındakiler ise sıfırdır. “Etraf” tanımımızın içinde yer alan elemanların yerleri ise yan köşegendir. Asal köşegenin parallel köşegenleri yan köşegenlerdir. Asal köşegenin üstünde kalanlar üst köşegen, altında kalanlar alt köşegendir. Asal köşegen, üst köşegen ve alt köşegenler dışında yer alan elemanlar sıfırdır.

Üst Üçgen Matris: nxn tipindeki bir matrisin , asal köşegenin üstünde kalan elemanlar sıfırdan farklı, altında kalan elemanların hepsi sıfır olan matristir. (Aynı zamanda kare matristir.)

Alt Üçgen Matris: nxn tipindeki bir matrisin , asal köşegenin altında kalan elemanlar sıfırdan farklı, üstünde kalan elemanların hepsi sıfır olan matristir. . (Aynı zamanda kare matristir.)

Simetrik Matris: nxn tipindeki bir matrisin transpozesi kendisine eşit olan matristir. Asal köşegene göre simetrik elemanlar birbirine eşittir. (Aynı zamanda kare matristir.)

Antisimetrik (skew-symmetric) Matris: nxn tipindeki bir matrisin transpozesi kendisinin zıt işaretlisine eşit olan matristir. Asal köşegene göre simetrik elemanlar birbirine mutlak değerce eşit, ama zıt işaretlidir. Asal köşegen üzerindeki tüm elemanlar sıfırdır. (Aynı zamanda kare matristir.)

Simetrik Bant Matris: Bu matrisin bant matristen farkları; asal köşegene simetrik elemanların ve üst -alt köşegen sayılarının aynı olmasıdır. (Aynı zamanda kare matristir.)


Matrislerde Temel İşlemler

  • Matrislerde Toplama:
    Aynı tipten iki matriste ; aynı indisli elemanlar toplanır ve aynı yere yazılır ve yeni bir matris elde edilir. (A ile B matrislerinin toplamıyla C = A + B)

    Not: Boyutları aynı olan iki matrisin çıkarılması; aslında bir matrisin (-1) ile çarpılması ve diğer matrisle toplanmasıdır. (A-B = A + (-1).B )

    Toplama İşleminin Özellikleri:
    A= , B= , C= aynı tip matrisler ise;

    • A+B=B+A
    • (A+B)+C=A+(B+C)
    • A+O=O+A=A, O sıfır matris
    • A+(-A)=(-A)+A=O
  • Matrislerin Skalerle Çarpımı:
    Bir sayıyı matrisle çarpılırken; matrisin tüm elemanları bu sayıyla çarpılır.
    (A matrisinin k sayısıyla (skalerle) çarpılması kA matrisi elde edilir.)

    A=, B=, C=aynı tip matrisler, , skaler olmak üzere;
    • k.(A+B)=k.A+ k.B
    • (+).A= .A+ .A
    • (.).A=.(.A)
    • .A=A (Birim matris ile bir matrisin çarpımı matrisin kendisidir.)
    • O.A = O (Sıfır matris ile bir matrisin çarpımı sıfır matristir.)
    • A+B=C ise A=C-B
  • Matrislerin Çarpımı:
    Matrislerin çarpılabilmesi için satır ve sütun sayıları ile ilgili;
    (mxp).(pxn)→(mxn) olmalıdır. Yani ilk matrisin sütun sayısıyla diğer matrisin satır sayısı aynı olmalıdır.

    A=, B=iki matris olsun. A ile B nin çarpımı A.B= .==C matrisi oluşur. Başka bir matristir. C matrisi , A matrisinin ilgili satır elemanları ile B matrisinin ilgili sütun elemanlarının çarpılıp toplandıktan sonra elde edilir.   

    Bir başka ifadeyle;
    .  =

 

           Çarpmanın Özellikleri:
           A, B, C çarpılabilir matrisler, k skaler, n ∈  olmak üzere;

    • A.B = B.A her zaman olmayabilir, istisnalar hariç.
    • A.B çarpılabilir olabilirken B.A çarpılamayabilir.
    • A.(B.C)=(A.B).C
    • A.(B+C)=A.B+A.C
    • (A+B).C=A.C+B.C
    • A herhangi bir kare matris, olmak üzere;
      •   =A.A
      • =A.
      • =A.
    • =I, =O (Birim matris zaten kareseldir, sıfır matris
      de karesel olmalı ya da çarpma şartına uymalı)
    • A.B=O ise A=O veya B=O olması gerekmez.
    • A.B=A.C ise B=C olmak zorunda degildir.
  • Matrisin Çarpmaya Göre Tersi:
    A nxn tipinde bir kare matris;
    A.B = B.A = I (birim matris) olacak şekilde bir B matrisi , A’nın çarpmaya göre tersidir veile gösterilir.
    Ters (invers) matris de denebilir.

    Özellikleri;

    • Kare olmayan bir matrisin tersi yoktur.
    • Bir matrisin tersi varsa tektir.
    • A.=.A = I (birim matris)
    • = A
    • =.
    • ..
    •  =    


Yararlanılan Kaynaklar:

  • http://auzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/lineercebir.pdf
  • http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com/2008/12/18/seyrek-matris-sparse-matrix/
  • Çetin, Nezahat ; Orhun, Nevin. (1998). Özer, Orhan (Ed.). “Matematik Öğretmenliği”. Lineer Cebir .T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 1074, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 589 .
  • http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/index_dosyalar/Dersler/BilDesNuMAn/BDNA-DersNotları/BDNA01_Matrisler.pdf
  • https://personel.omu.edu.tr/docs/ders_dokumanlari/5229_55322_1298.pdf
  • https://uzunincebiryolculuk.files.wordpress.com/2009/07/matris-determinant.pdf
  • http://www.kocaelimakine.com/wp-content/uploads/2018/01/lineer-cebir-ders-notlari-huseyin-bilgic.pdf
  • http://www.siirt.edu.tr/dosya/personel/lineer-cebir-siirt-201921417161424.pdf
(Visited 69 times, 1 visits today)

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir